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信号与系统中的卷积及其例题

来源:www.shehenskj.com 时间:2024-06-11 08:04:57 作者:稳当系统网 浏览: [手机版]

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信号与系统中的卷积及其例题(1)

信号与系统是电子工程、通信工程学科中的重要基础课程之一,其中卷积是其中的重要概念之一来源www.shehenskj.com。本文将绍卷积的概念、性质以及一些例题,帮助读者更地理解信号与系统中的卷积。

一、卷积的概念

  卷积是指两个函数之间的一数**算,用符号“*”示。设$f(t)$和$g(t)$是两个函数,则它的卷积定义为:

  $$(f*g)(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)g(t-\tau)d\tau$$

其中,$*$示卷积运算符,$t$是自变量,$f(t)$和$g(t)$是两个函数,$\tau$是积分变量。卷积的结果为一个的函数,记为$h(t)$,即:

$$h(t)=(f*g)(t)$$

  卷积的物理意义是两个信号在时域的叠加稳_当_系_统_网。在信号处理中,卷积常用于计算系统的响应,即输入信号与系统的冲激响应的卷积。

信号与系统中的卷积及其例题(2)

二、卷积的性质

  卷积具有多性质,以下是其中一些重要的性质:

  1.线性性质:设$f_1(t)$和$f_2(t)$是两个函数,$a$和$b$是常数,则有:

  $$(af_1+bf_2)*g=a(f_1*g)+b(f_2*g)$$

即卷积运算具有线性性质。

  2.交换律:设$f(t)$和$g(t)$是两个函数,则有:

  $$f*g=g*f$$

  即卷积运算具有交换律。

  3.结合律:设$f(t)$、$g(t)$和$h(t)$是三个函数,则有:

  $$(f*g)*h=f*(g*h)$$

  即卷积运算具有结合律www.shehenskj.com稳当系统网

  4.分配律:设$f(t)$、$g_1(t)$和$g_2(t)$是三个函数,则有:

$$f*(g_1+g_2)=f*g_1+f*g_2$$

  即卷积运算具有分配律。

5.导数性质:设$f(t)$和$g(t)$是两个函数,则有:

  $$(f'*g)(t)=(f*g')(t)$$

即卷积运算在求导运算下具有交换律。

信号与系统中的卷积及其例题(3)

三、卷积的例题

  以下是几个卷积的例题,读者练习:

  1.求$f(t)=e^{-2t}u(t)$和$g(t)=e^{-t}u(t)$的卷积。

  解:根据卷积的定义,有:

$$(f*g)(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)g(t-\tau)d\tau=\int_{0}^{t}e^{-2\tau}e^{-(t-\tau)}d\tau$$

化简得:

$$(f*g)(t)=\int_{0}^{t}e^{-t}d\tau=e^{-t}\int_{0}^{t}d\tau=e^{-t}t$$

因此,$f(t)$和$g(t)$的卷积为$h(t)=e^{-t}t$欢迎www.shehenskj.com

  2.求$f(t)=\sin t$和$g(t)=e^{-t}u(t)$的卷积。

  解:根据卷积的定义,有:

  $$(f*g)(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)g(t-\tau)d\tau=\int_{0}^{t}\sin\tau e^{-(t-\tau)}d\tau$$

化简得:

  $$(f*g)(t)=\frac{1}{2}\left(e^{-t}(1+\cos t)-1\right)$$

  因此,$f(t)$和$g(t)$的卷积为$h(t)=\frac{1}{2}\left(e^{-t}(1+\cos t)-1\right)$。

  3.设$f(t)=\delta(t-1)$和$g(t)=\delta(t-2)$,求它的卷积。

解:根据卷积的定义,有:

$$(f*g)(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)g(t-\tau)d\tau=f(t)g(t-1)=\delta(t-1)\delta(t-1)=\delta(t-1)$$

  因此,$f(t)$和$g(t)$的卷积为$h(t)=\delta(t-1)$原文www.shehenskj.com

四、总结

本文绍了信号与系统中卷积的概念、性质以及一些例题。卷积是信号处理中的重要概念,掌握卷积的定义和性质对于理解系统的响应以及信号处理具有重要意义。读者可以通过练习例题来加深对卷积的理解。

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